[MR 연구] k-space value ranges & image intensity value ranges

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$\int_xe^{-if(x)}I(x)dx =k(f)$

식에서 알 수 있듯이, scaling을 fourier, image domain에서 똑같이 나누면 성립합니다.

만약, 특별하게 $f=0$(k-space에서 중심값)이라면 image domain의 전체 intensity를 알 수 있습니다.

$\int_xI(x)dx=\int_xe^{-i0(x)}I(x)dx =k(0)=image \ intensity$

또한 $f=0$인 경우가 k-space에서 max값을 의미합니다.

k-space를 ifft한 image에서 밝은 영역이 넓고 밝기가 클수록, k-space의 max 값이 크게 나타납니다.
k-space를 ifft한 image에서 밝은 영역이 작고 밝기가 작을수록, k-space의 min 값이 작게 나타납니다.
따라서 k-space의 value range에서 min max의 값이 크게 다르다고 해서 normalization하지 않습니다.
왜냐면 k-space의 max value는 image domain에서는 밝기의 분포의 총합(모든 pixel의 intensity 합)을 의미하기 때문입니다.
k-space에서 max 값의 차이가 많이 나타나더라도, image domain으로 ifft하면 image domain에서 value들을 대부분 0 ~ 1.2, 0 ~ 1.7 등의 range로 비슷하게 가짐을 실험적으로, 이론적으로 증명이 가능합니다.

1718177639422 1718177641820 1718177642817 1718177643910 1718177644936 1718177645923

fastMRI 데이터셋에서 실제로도 k-space에서 max value가 클수록 ifft한 이미지에서 밝게 나타나는 영역이 많아집니다.

위 그림에서 norm k-space와 norm ifft image에서 coil 12, coil 13을 비교해서 보시면

확실히 k-space에서 max value가 14,000(coil 12)인거랑 30,000(coil 13)인거랑 ifft한 이미지를 보면 image domain에서는 value range는 0 ~ 1.2(coil 12), 0 ~ 1.6 (coil 13)정도로 비슷한데

k-space에서 max가 30,000(coil 13)인 케이스가 ifft했을 때 밝은 영역을 더 많이 가지고 있음을 관찰할 수 있습니다.

특히나, ifft했을때 그냥 거의 노이즈로 나타나는 coilmap들은 k-space에서도 0~2000, 0~4000 정도로 작은 값을 가졌습니다.

보통 ifft했을 때 잘나오는 coilmap들은 k-space에서 0~10,000, 0~20,000, 0~30,000 등의 값을 가지는걸로 관찰됩니다.

MR에서 mean을 0으로 보내는 z-norm은 함부로 쓰면 안됩니다. k-space domain에서 최대값이 center에 위치하지 않게 되버릴 수도 있기 때문입니다. → diffusion model처럼 z-norm하지 않고 따로 처리해줘야 합니다.

만약 coil이 4개라면, 이에 대해 $S_{sos}$를 구하고, 각 코일 $S_1, S_2, S_3, S_4$를 $max(S_{sos})$로 나눠줍니다.

$S_{sos}=\sqrt{S_1^2+S_2^2+S_3^2+S_4^2}$

각 이미지 $S_1, S_2, S_3, S_4$의 모든 pixel에 대해 sum이 1이어야하는 조건을 강하게 줄 수 있습니다.

$\sum^4_{i=1}S_i^2=\mathbf{1}$

→ 단 이는 ideal한 것을 예시로 드는 것이기 때문에 raw에서는 이렇게 하면 안될 것으로 보입니다.

⇒ coilmap의 합과 1 matrix의 차이가 0이 되게하는 loss로 constraint를 주는게 raw에서는 더 나을 것으로 보입니다

$1 \ matrix \ loss =min(\sum^4_{i=1}S_i^2-\mathbf{1})$

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