[MR 연구] ESPIRiT—An Eigenvalue Approach to AutocalibratingParallel MRI: Where SENSE Meets GRAPPA

[ESPIRiT—An Eigenvalue Approach to AutocalibratingParallel MRI: Where SENSE Meets GRAPPA]

Parallel imaging allows the reconstruction of images from undersampled multicoil data.

• SENSE: explicitly uses coil sensitivities
• GRAPPA: uses learned correlations in k-space
• ESPIRiT: uses SENSE & GRAPPA

Parallel MRI

• In parallel MRI, data are simultaneously acquired from multiple receiver coils.
• Each coil exhibits a different spatial sensitivity profile, which acts as additional spatial encoding function.

• This can be used to accelerate the acquisition by subsampling k-space and reconstructing images by using the sensitivity information.

• SENSE: Reconstruction algorithms based on explicit knowledge of the coil sensitivities.
• GRAPPA, SPIRIT: algorithms based on local kernels in k-space, which exploit the learned correlation between multiple channels in neighboring points in k-space.

SENSE

• SENSE poses the parallel imaging reconstruction as a linear inverse problem.

GRAPPA

• GRAPPA is an auto-calibrating coil-by-coil reconstruction method.
• It poses the parallel imaging reconstruction as an interpolation problem in k-space.
• In the GRAPPA algorithm, unacquired k-space values are synthesized by a linear combination of acquired neighboring k-space data from all coils.

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Null space (영공간)

• 선형 방정식 $AX=\bf{b}$에서 $\bf{b}$가 zero vector일때 즉 $A\bf{X}=0$일때 모든 가능한 해 X에 대한 집합입니다.
• 특정 행렬 $A$와 $X$가 곱해졌는데 그게 $\bf{0}$이 나올때 $X$의 집합, $\bf{x}$가 이루는 공간을 Null space라고 합니다.
• $AX = 0$ 일 때 가능한 모든 해 $X$의 집합이 Null space 라고 볼 수 있습니다.

• det(A)=0인 상황에서도 해는 존재할 수 있습니다. 그리고 그 해가 존재하는 공간은 Null space입니다.

• ESPIRiT에서 ACS line만 몇 개 있어도 missing k-space value들을 추정할 수 있는 이유는 다음과 같습니다.

  • ACS line 상의 column space (=solution space)에서 redundancy가 있어 linearly dependent하기 때문에, 선형조합으로 missing k-space value들을 찾을 수 있습니다.

    

    

    • $P_r$: The operators $P_r$ represent local sampling patterns that choose only acquired samples from a block of k-space.
    • $g_{ri}$: the unknown variables $g_{ri}$ at different positions in k-space, where $x_i$ are known.
    • ${y_i}^{AC}$: data from the $i$ th coil inside the AC region (orange sqaure in Fig. 1).
    • In practice, kernels(=null space) which solve this set of equations approximately are computed by solving a regularized least-square problem.

By construction, one of the columns of $A$ is ${y_i}^{AC}$

• calibration matrix A에서 $i$ th coil에서 하나의 column은 $i$ th coil의 AC region에서도 일부 사각형 영역를 나타냅니다. (Fig. 1의 orange 영역)

ESPIRiT에서 calibration matrix A (=Column space A, 해집합)은 linearly dependent하여 redundancy가 존재합니다.

• 따라서 column vector들이 Span하는 공간의 차원이 줄어듭니다.
• 같은 말로 행렬 A의 column vector들이 선형 종속인 경우, det(A)=0이며, $A \bf{x}= \bf{0}$의 해가 존재합니다.
• det(A)=0이면, 행렬 A는 Rank가 완전하지 않은 행렬이어서, $A \bf{x} = \bf{0}$의 해가 반드시 존재하게 되며, 이 해들은 Null space를 형성합니다.
• 요약하면, 행렬 A의 column vector들이 linearly dependent하면, det(A)=0이고, Null space가 반드시 존재합니다.

The correlation in k-space are encoded in the null space of a calibration matrix.

• k-space 내의 correlation은 calibration matrix A의 null space에 인코딩 됩니다. (null space에 해가 존재함)
• calibration matrix $A$는 k-space의 center에서 fully acquired된 영역인 autocalibration (AC) region을 의미합니다.
• 즉, 다시말해, k-space간의 correlation 관계는 k-space center의 autocalibration (AC) 영역인 calibration matrix의 null space에 존재합니다.
• AC영역에서 k-space간의 correlation의 해를 찾을 수 있다는 의미입니다.
• 전체 k-space value가 없어도, k-space의 center에서 fully acquired된 일부분의 영역의 k-space value만으로도 나머지 missing k-space value에 대한 값(=해)를 찾을 수 있다는 의미입니다.
• 이는 해 집합인 column space A(=calibration matrix A)에 linearly dependent한 column vector가 존재하여, det(A)=0이고, Null space가 반드시 존재하며, 이 Null space내에 해가 존재함을 의미합니다.
  • a fully acquired region in the center of k-space, e.g., autocalibration (AC) region.
  • To perform the calibration, it is useful to construct a so-called calibration matrix, denoted by A, from the AC portion of the acquired data.

Seperate A to Row space and Null space

• A very useful way to analyze the calibration matrix is to compute its singular value decomposition (SVD):

\[A = U\Sigma V^{H}\]

• The columns of the $V$ matrix in SVD are a basis for the rows of $A$, and therefore basis for all the overlapping blocks in the calibration data.
  • calibration data (AC region)에서 overlapping하는 block들

  • 이 모든 block들에 대해 coil들이 존재하는 차원축으로 봤을 때, basis vector가 존재한다는 의미입니다.

    

• We can seperate $V$ into
  • $V_{\perp}$ which spans the null space of $A$,
  • $V_{\parallel}$ which spans its row space.
• The underlying information that we learn from the decomposition of the calibration data is that it lies in the subspace spanned by row space $V_{\parallel}$ and not by null space $V_{\perp}$.
• This information can then be used in the reconstruction to extrapolate unacquired measurements as this relation should be true for all the blocks in k-space and not just for the AC lines.

Coil sensitivities

• It is often very difficult to accurately and robustly measure the sensitivities and even small errors can result in inconsistencies that lead to visible artifacts in the image.
• Various algorithms have been developed to enable auto-calibration of the coil sensitivities and to improve the calibration, for example, by joint estimation of the sensitivities and image.

ESPIRiT

• In this work, we bridge the gap by describing SENSE and GRAPPA as subspace methods, i.e., both reconstruct missing data by restricting the solution to a subspace.
• SENSE achieves this by combining the coil images using precalculated sensitivity maps, while autocalibrating methods achieve it by filtering with calibrated kernels in k-space.
• We then show that the dominant eigenvector of these k-space operators appear and behave as sensitivity maps.
• More importantly, we show how these maps can be rapidly computed using an eigenvalue decomposition in image space, which results in robust high-quality sensitivity maps that can be estimated just from autocalibration lines in k-space.
  • ESPIRiT은 k-space의 ACS lines만 가지고, high quality sensitivity maps, 즉 coil sensitivity maps을 계산합니다.

Explicit sensitivity maps from autocalibration data using eigenvalue decomposition

the explicit sensitivity maps can be found by an eigenvalue decomposition of all $\mathcal{G}_q$’s choosing only the eigenvectors corresponding to eigenvalue “=1”.

As expected, eigenvectors corresponding to eigenvalues “=1” appear to be sensitivity maps.

• The magnitude and phase of the sensitivities follows closely the magnitude and phase of the individual coil images (bottom row).
• The eigenvetors are defined only up to multiplication with an arbitrary complex number.
  • For this reason, the norm of the eigenvectors at each location are normalized to one and the 8th channel is used as a reference with zero phase.

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Theory & Methods

• A theoretical analysis shows: The correlations in k-space are encoded in the null space of a calibration matrix. (핵심 내용!!)
  • Both approaches restrict the solution to a subspace spanned by the sensitivities.
    • coil sensitivities로 solution space를 제한합니다.
  • The sensitivities appear as the main eigenvector of a reconstruction operator computed from the null space.
    • sensitivities는 null space로부터 계산되는 reconstruction operator의 main eigenvector입니다.
• 위 내용을 실험적으로 sensitivity maps의 quality를 평가하여 증명하였습니다.

k-space에 gaussian white noise를 추가하여, original acquisition에 다양한 noise 조건을 추가하여 실험을 진행함

• To study the effect of different noise level on the calibration, gaussian white noise has been added to k-space to create data with 10x and 20x the noise level of the original acquisition.

sensitivity maps 성능평가 방법

• …, ESPIRiT calibration has been performed and the accuracy of the obtained sensitivity maps has been evaluated by projecting fully-sampled coil images $m_i$ of the original data onto the subspace spanned by the maps.
  • sensitivity maps에 의해 spanned 된 subspace 상으로 fully-sampled coil images를 projection한 것을 reference로 하여 ESPIRiT으로부터 얻은 sensitivity maps의 성능을 평가하였습니다. (ESPIRiT의 전체 내용을 담고 있는 매우 중요한 문장)

reconstruction images 성능평가 방법

• In addition, images have been reconstructed for all noise levels for undersampling in both phase-encoding directions by 2x2 using ESPIRiT and GRAPPA.

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Hermitian transpose

• 복소수는 전치행렬을 $^H$로 표현합니다.
• Hermitian transpose는 실수 행렬의 경우 일반적인 transpose와 동일하지만, 복소수 행렬의 경우 각 요소의 켤레 복소수를 취해야 한다는 점에서 다릅니다.

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Coilsensitivity implementation

Calibration 영역은 k-space 배열의 중심에 위치할 필요가 없습니다.

ecalib는 k-space의 중심을 추정하기 위해 최대 k-space 진폭을 확인합니다.

이 과정은 k-space에서 신호의 진폭이 가장 큰 지점을 찾는 것을 의미합니다.

최대 진폭이 발견되면, ecalib는 이 지점을 중심으로 하여 그 주변의 영역을 추출합니다.

이 추출된 영역이 바로 calibration 영역으로 사용됩니다.

⇒ 따라서 꼭 k-space에서 중앙 부분을 crop하는건 아닙니다.

maximum amplitude를 가지는 k-space value 위치을 center로해서

center 주변영역을 calibration data (= calibration region = calibration matrix)을 만들어서

그 calibration data로 eigenvalue를 찾고, sensitivity map을 구합니다.

즉 그림에서 사용된 검정색 박스인 calibration region (= calibration data = calidation matrix)가 중앙이 아닌 좌측상단에 위치할 수도 있습니다.

문제되는 경우는 k-space max value가 꼭지점에 위치할 때라고 생각해볼 수 있습니다.

Reference

• [Inverse matrices, column space and null space

  Chapter 7, Essence of linear algegra](https://www.youtube.com/watch?v=uQhTuRlWMxw)

• [선대] 3-5강. 최소자승법 & 정사영 행렬 (Least squares & Projection matrix)
• BART ecalib: Estimating Coilmap